[SEASON 2 • FRAGMENTS OF SCIENCE #9] – SỐ e

(English caption below)

Các số vô tỉ có vô số ứng dụng trong thực tế. Ví dụ số π là tỉ lệ giữa chu vi và đường kính của đường tròn, hay số tỉ lệ vàng là giới hạn của tỉ số hai số Fibonacci liên tiếp. Đến thời kì Phục hưng, khi những giá trị của toán học cần tìm được chỗ đứng trong các lĩnh vực thực tiễn, người ta bắt đầu tìm đến những hằng số vô tỉ phức tạp hơn. Một trong số đó chính là số e. Hôm nay P.R.I.S.M. sẽ giới thiệu đến các bạn hằng số đặc biệt này!

Số e, đôi lúc còn được gọi là Số Euler, hoặc hằng số Napier. Tuy nhiên, người ta đã giữ lại kí hiệu e để vinh danh nhà toán học vĩ đại Leonhard Euler. Số e, cùng với 0, 1, i, π là 5 hằng số trụ cột của toán học, có ý nghĩa quan trọng đối với nhiều đồng nhất thức.

Về mặt toán học, số e được xác định là giới hạn của dãy số (1 + 1/n)^n khi n tiến về vô hạn. Người ta đã tính được giá trị xấp xỉ của số Euler là 2,71828, tuy nhiên việc ghi nhớ công thức xác định của hằng số này sẽ cho ta một cái nhìn chính xác hơn về những ứng dụng của số e.

A. TÌM RA SỐ E

Mặc dù được đặt tên theo nhà toán học Napier và kí hiệu bằng chữ cái đầu tiên của tên nhà toán học Euler, số e thực tế lại được tìm ra bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli. Năm 1683, khi cân nhắc một bài toán lãi kép, ông đã đặt ra câu hỏi: Một tài khoản có số dư 1 đô la và nhận 100% lãi suất mỗi năm. Nếu lãi suất được tính một lần thì đến cuối năm, số dư của tài khoản đó là 2 đô la. Điều gì sẽ xảy ra khi lãi suất được tính và thanh toán thường xuyên hơn trong năm?

Và giờ là lúc chúng ta quay lại với công thức xác định số e:

e = giới hạn của (1 + 1/n)^n khi n tiến ra vô cùng

Như vậy nếu như chúng ta chia một năm thành n khoảng, và với mỗi khoảng thời gian người gửi tiền được nhận một khoản lãi suất bằng 1/n số dư, thì sau một năm số tiền gửi sẽ là (1 + 1/n)^n số tiền ban đầu.

Bằng tính toán đơn giản, rất dễ thấy nếu n tăng lên thì tổng số tiền thu lại được sau một năm cũng sẽ tăng lên. Như vậy, các ngân hàng ắt sẽ rất đau đầu nếu như khách hàng yêu cầu chia nhỏ thời gian gấp hàng trăm lần! Nhưng không, số e chính là giải pháp cho vấn đề đó. Bởi vì mặc dù n có tăng lên đến bao nhiêu nữa thì (1 + 1/n)^n cũng luôn nhỏ hơn e, do đó đảm bảo rằng người gửi tiền không thể nào thu lại được quá e lần số tiền gửi ban đầu.

B. KHẢ NĂNG TRONG XỔ SỐ?

Có bao giờ bạn nghĩ rằng nếu mình mua hết tất cả vé số, hay mua rất rất nhiều vé số, thì khả năng bạn sẽ thắng ít nhất một giải sẽ rất lớn? Đây là một cách nghĩ rất tự nhiên, nhưng nó lại đi ngược hoàn toàn với lý thuyết toán học.

Thật vậy, hãy giả sử nếu bạn mua một tấm vé số với tỉ lệ thắng cược là 1 phần n, với n có thể lên tới hàng triệu. Khi đó, nếu bạn mua n tấm vé số, thì xác suất để không có bất cứ tấm vé số nào thắng giải là (1 – 1/n)^n, tức là rất gần số 1/e. Mà ta đã biết số e rơi vào khoảng 2,8, nên do đó khi mua 1 triệu tấm vé số, có hơn ⅓ khả năng bạn sẽ hoàn toàn trắng tay.

C. ỨNG DỤNG

Bên ngoài phạm vi toán học, số e còn có một số ứng dụng trong các bộ môn khác, tiêu biểu là các bài toán về thời gian lặp lại của các hiện tượng thiên văn như sao chổi, thiên thạch hay thủy triều.

Bên cạnh đó, số này được dùng để tính toán tuổi của cổ vật khi biết hàm lượng Carbon-14, hoặc tính tốc độ và khả năng của các phản ứng hóa học, hay cả chu kì bán rã các nguyên tố phóng xạ. Trong nhiều công thức tính năng lượng, nhiệt độ trong vật lý, số e là một phần không thể thiếu.

Ví dụ tiêu biểu là có thể tính toán tuổi của hóa thạch các sinh vật hay các cổ vật qua hàm lượng C-14. C-14 có chu kỳ bán phân hủy là 5730 năm, có nghĩa là cứ sau 5730 năm thì C-14 chỉ còn một nửa. Nhờ logarit tự nhiên (kí hiệu ln, cơ số là e), người ta tính được hằng số phân rã của C-14. Sau đó bằng định luật phóng xạ tính được niên đại hóa thạch hay cổ vật khi biết hàm lượng C-14 ban đầu và hiện tại sau khi tính ra hằng số phân rã mà e là hằng số không thể thiếu trong định luật đó:

ln m0/m = kt

(m0, m lần lượt là khối lượng C14 lúc đầu và hiện nay, k là hằng số bán rã, t là niên đại, ln là logarit cơ số e)

Hay trong lĩnh vực sinh học, người ta dùng số e để tính sự phát triển của vi khuẩn hoặc trong ngành môi trường học thì ứng dụng chính của nó là tính nồng độ chất gây ô nhiễm và so sánh nồng độ này với nồng độ cho phép.

_______________

[SEASON 2 • FRAGMENTS OF SCIENCE #9] – THE e NUMBER

Irrational numbers have countless practical applications. For example, the π is the ratio of the circumference and diameter of the circle, or the golden ratio is the limit of the ratio of two consecutive Fibonacci numbers. By the Renaissance, when mathematical values ​​needed to find a place in practical fields, people began to look to more complex irrational constants. One of them is the number e. Today P.R.I.S.M. will introduce you to this special constant!

The number e is sometimes called Euler’s number, or Napier’s constant. However, people have kept the symbol e in honor of the great mathematician Leonhard Euler. The number e, along with 0, 1, i, and π are the five pillar constants of mathematics, which are important for many identities.

Mathematically, the number e is defined as the limit of the sequence (1 + 1/n)^n as n approaches infinity. An approximation of Euler’s constant has been calculated to be 2.71828, but remembering the definite formula for this constant gives a more precise view of the applications of e.

A. DISCOVERING THE E NUMBER

Although named after the mathematician Napier and denoted by the first letter of the mathematician Euler’s name, the number e was in fact discovered by the Swiss mathematician Jacob Bernoulli. In 1683, when pondering a compound interest problem, he posed the question: An account has a balance of $1 and receives 100% interest every year. If interest is charged once, then at the end of the year, the balance of that account is $2. What happens when interest is calculated and paid more frequently during the year?

And now it’s time to go back to the formula for determining the number e:

e = the limit of (1 + 1/n)^n as n goes to infinity.

So if we divide a year into n intervals, and with every time depositors receive an interest equal to 1/n balance, after one year the deposit will be (1 + 1/n)^n of the original amount.

By simple calculation, it is easy to see that if n increases, the total amount of money collected after one year will also increase. Thus, banks will be very headache if customers request to split time hundreds of times! But no, the e number is the solution to that problem. Because no matter how much n increases, (1 + 1/n)^n is always less than e, thus ensuring that the depositor cannot recover more than e times the original deposit.

B. LOTTERY PROBABILITY

Have you ever thought that if you buy all the lottery tickets, or buy a lot of lottery tickets, the chance that you will win at least one prize will be very large? This is a very natural way of thinking, but it runs counter to mathematical theory.

Indeed, let’s say if you bought a lottery ticket with 1 in n odds of winning, where n could be in the millions. Then, if you buy n lottery tickets, the probability that none of them will win is (1 – 1/n)^n, which is very close to 1/e. We already know that the number of e falls around 2.8, so when you buy 1 million lottery tickets, there is more than one-third of the chance that you will be completely empty-handed.

C. APPLICATIONS

The number e has a number of applications in other disciplines, notably problems with the repetition time of astronomical phenomena such as comets, meteorites or tides .

Besides, this number is used to calculate the age of the artifact when knowing the Carbon-14 content, or calculate the speed and capacity of chemical reactions, or the half-life of radioactive elements. In many formulas for calculating energy and temperature in physics, the number e is an integral part.

For example, it is possible to calculate the age of fossils of organisms or artifacts through the content of C-14. C-14 has a half-life of 5730 years, which means that every 5730 years the C-14 is only halved. Thanks to the natural logarithm whose symbol is ln and base is e, we can calculate the decay constant of C-14. Then, by the theory of radioactivity, we can calculate the age of fossils or artifacts when we know the initial and present content of C-14 after calculating the decay constant where e is an indispensable constant in that theory:

ln m0/m = kt

(m0 and m is the original and current content of C-14 respectively, k is the decay constant, t is the age, ln is the logarithm of e)

In the field of biology, people use the e number to calculate the growth of bacteria or in the field of environmental science, its main application is to calculate the concentration of a pollutant and compare this concentration with the concentration for the pollutant’s permission.

Nguồn:

https://vi.wikipedia.org/wiki/E_(s%E1%BB%91)
https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)
https://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html
http://hanoimoi.com.vn/Tin-tuc/Thieu-nhi/593402/so-e-la-gi
https://www.quora.com/What-applications-are-there-for-the…
http://hobbieroth.blogspot.com/…/05/e-story-of-number.html
https://tuengr.com/V03/371-380.pdf
https://vi.wikipedia.org/wiki/Cacbon-14
https://vi.wikipedia.org/…/%C4%90%E1%BB%8Bnh_lu%E1%BA…

_______________

Mọi thông tin xin liên hệ – For all inquiries, please contact:
Đặng Minh Trung: +8494 190 1469 (Trưởng ban Tổ chức – Head of Project)
Trần Đình Phương Uyên: +8436 643 7691 (Trưởng ban Đối ngoại – Head of Public Relations)
Email: prismproject20@gmail.com
Website: https://prismproject20.com/
Facebook: https://www.facebook.com/prismproject20/

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s