[Fragments of Science #5]

ENGLISH

CÓ NHỮNG TẬP HỢP SỐ VÔ HẠN LỚN HƠN NHỮNG TẬP HỢP SỐ VÔ HẠN KHÁC?

Không có mô tả.

Sự vô hạn là một thứ khó hiểu. Những hiểu biết của chúng ta về câu hỏi vô hạn là gì đều rất mơ hồ – một thực thể vật lý, một khái niệm toán học rõ ràng, hay thậm chí chỉ là một giới hạn tưởng tượng trong toán học mà không hề thực sự tồn tại ngoài đời thực? Có lẽ mọi người cũng đã được nghe đến sự quái dị của vấn đề này, như trong Nghịch lý khách sạn vô hạn nổi tiếng, hay câu trích dẫn từ tác phẩm “The Faults In Our Stars” của John Green – “Some infinities are bigger than other infinities… You gave me forever within the numbered days” – tạm dịch: “Có những tập hợp số vô hạn lớn hơn những tập hợp số vô hạn khác.. Anh đã cho em những giây phút vĩnh viễn trong chuỗi ngày ngắn ngủi này”. Các bạn có thể tự hỏi: “Vô hạn vốn là một thứ tưởng như không thể hình dung được, không gì lớn hơn được, vậy tại sao lại có khái niệm vô hạn lớn và vô hạn bé?” 

Theo các nhà toán học (và chỉ các nhà toán học mà thôi, vì có vẻ khái niệm này không có ứng dụng trực tiếp nào trong các ngành khoa học khác!), thì lời khẳng định này là hoàn toàn đúng. Tuy nhiên, cách nhân vật Hazel áp dụng lời khẳng định ấy vào hoàn cảnh cá nhân của mình lại có nhiều khúc mắc.

Trước hết, ta phải nhận biết được từ khóa ở đây: “bằng nhau”. Một mối quan hệ tưởng chừng rất đơn giản, phải không nào? Nhưng sự đơn giản ấy chỉ dừng lại ở các đại lượng hữu hạn thôi. Làm thế nào để ta so sánh số phần tử của hai tập hợp vô hạn (chẳng hạn như số điểm trong một đoạn thẳng và số các số tự nhiên)?

Câu trả lời của Georg Cantor (1845 – 1918, người Đức, cha đẻ của lí thuyết tập hợp) là ta hãy thử thiết lập một sự kết cặp giữa các phần tử của chúng. Khi mỗi phần tử của tập hợp này có thể được kết cặp với một phần tử của tập hợp kia, và không có phần tử nào bị bỏ sót, ta nói hai tập hợp có cùng số phần tử.

Hmm, định nghĩa này nghe có vẻ hợp lí? Bây giờ xét tập hợp các số nguyên dương (1,2,3,4,…) và tập hợp các số chẵn dương (2,4,6,8,…). Để ý là mọi số chẵn dương đều bằng hai lần một số nguyên dương nào đó, và mọi số nguyên dương nhân đôi đều cho một số chẵn dương. Vậy tương ứng x → 2x cho ta thấy 2 tập hợp này có cùng số phần tử, trong khi rõ ràng tập số chẵn dương là tập con của tập số nguyên dương! Điều này thể hiện rất rõ trong những phép toán nhân vô cùng với một số tự nhiên, ví dụ như 2 nhân vô cùng vẫn chỉ ra kết quả là vô cùng. Rõ ràng, với các tập hợp vô hạn, bộ phận có thể bằng với toàn thể. 

Hãy đến với ví dụ của John Green. Số các số thực từ 0 đến 2 có lớn hơn số các số thực từ 0 đến 1? Với cùng lập luận như trên, ta thấy ngay là hai vô hạn này bằng nhau!

Còn vô hạn lớn và vô hạn bé thì sao? Cantor đã chứng minh được số các số thực từ 0 đến 1 lớn hơn số các số nguyên dương. Thực ra, với mỗi tập hợp vô hạn, thì số các tập con của tập hợp đó là lớn hơn số phần tử của nó. Vậy ta có một chuỗi vô hạn các loại vô hạn lớn bé khác nhau. Lúc bấy giờ, ta cần một tiêu chuẩn nào đó để xếp hạng chúng, và Cantor gọi đó là các số siêu hạn.

Số các số nguyên (và bất kì tập con vô hạn nào của tập đó), và cả số các số hữu tỉ đều là số siêu hạn, hay còn gọi là vô hạn đếm được (rõ là bạn đếm được các số nguyên phải không nào). Số các số thực từ 0 đến 1 hay số điểm trên một đoạn thẳng thì “lớn hơn” (vì chúng là không đếm được, không sắp xếp liệt kê ra được). Ngạc nhiên là, không gian 3 chiều (hay N chiều) 

cũng có số điểm bằng với đoạn thẳng thôi! Lí thuyết của các vô hạn còn rất nhiều bí ẩn và bất ngờ nữa cho các nhà toán học sau đó cả thế kỉ.

Cuối cùng, lí thuyết này đóng vai trò gì trong tiểu thuyết của John Green? Nhà phổ biến toán học Vi Hart bình luận trong video của cô ấy rằng: “Ta không biết những loại vô hạn khác nhau này có áp dụng được cho những thời điểm hay không. Cái ta biết là, nếu cuộc đời có vô hạn khoảnh khắc, hay vô hạn tình yêu, hay vô hạn sự tồn tại, thì một cuộc đời dài gấp đôi cũng có một lượng y như vậy. Một số cái vô hạn chỉ trông có vẻ là lớn hơn những vô hạn khác. Và một số cái vô hạn nhìn có vẻ rất nhỏ, thật ra có giá trị không hề kém những vô hạn trông lớn gấp 10 lần chúng.” Điều này có nghĩa là một khoảnh khắc ngắn ngủi cũng có giá trị bằng những khoảng thời gian dài hơn. Nói cách khác, mỗi khoảnh khắc khi được tận dụng một cách trọn vẹn nhất, quãng thời gian “hữu hạn” của mỗi mỗi người sẽ trở nên dài hơn nhiều, thậm chí là vô hạn trong cảm nhận và kí ức.

*Cảm hứng cho bài viết này: 

https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/the-fault-in-our-stars-faulty-math/

Giải thích của Vi Hart: 

Nghịch lí khách sạn vô hạn (infinite hotel paradox) và các biến thể của nó, Ted-Ed: https://www.youtube.com/watch?v=Uj3_KqkI9Zo

Chứng minh lược giản cho sự không thể liệt kê được của số thực : http://mathonline.wikidot.com/the-set-of-real-numbers-is-uncountable

*Nguồn ảnh: Redbubble

SOME INFINITIES ARE BIGGER THAN OTHER INFINITIES?

Infinite is a confusing thing. Our understanding of the question ‘What is infinite?’ is ambiguous – is it a physical entity, a clear mathematical concept, or merely an imaginary limit in mathematics that does not really exist in real life? Perhaps everyone has heard of this abnormality as well, like in the famous Infinite Hotel Paradox, or the quote from John Green’s “The Faults In Our Stars” – “Some infinities are bigger than other infinities… You gave me forever within the numbered days.” You may be wondering, “Infinite is supposed to be an unimaginable, bigger-than-all thing, so why are there different sizes of infinity?”

Infinite is a confusing thing. Our understanding of the question ‘What is infinite?’ is ambiguous – is it a physical entity, a clear mathematical concept, or merely an imaginary limit in mathematics that does not really exist in real life? Perhaps everyone has heard of this abnormality as well, like in the famous Infinite Hotel Paradox, or the quote from John Green’s “The Faults In Our Stars” – “Some infinities are bigger than other infinities… You gave me forever within the numbered days.” You may be wondering, “Infinite is supposed to be an unimaginable, bigger-than-all thing, so why are there different sizes of infinity?”

First of all, we must identify the keyword here: equality. A seemingly simple relationship, right? But that simplicity only exists within finite quantities. How do we compare the number of elements of two infinite sets, such as the number of points in a line and the number of natural numbers?

The answer of Georg Cantor (1845 – 1918), a German mathematician who created set theory, was to try to establish a pairing between their elements. When each element of one set can be paired with one element of the other, and no elements are omitted, we say two sets have the same number of elements.

Hmm, this definition sounds reasonable, doesn’t it? Now consider the set of positive integers (1,2,3,4,…) and a set of positive even numbers (2,4,6,8, …). Notice that every positive even number is equal to twice a positive integer, and every positive integer doubling gives a positive even number. So the corresponding x → 2x shows that these 2 sets have the same number of elements, while clearly, the set of positive even numbers is a subset of the set of positive integers! This is clearly shown in infinity multiplication operations with a natural number. For example, 2 times infinity gives infinity. Obviously, for infinite sets, the part can be equal to the whole.

Let’s consider the example of John Green. Is the number of real numbers between 0 and 2 greater than the number of real numbers between 0 and 1? With the same argument as above, we immediately see that these two infinities are equal!

What about greater and smaller infinities? Cantor proved that the number of real numbers between 0 and 1 is greater than the number of positive integers. In fact, for each infinite set, the number of subsets of that set is greater than its number of elements. So we have an infinite series of different infinities, big and small. At that point, we needed some sort of criterion for ranking them, and Cantor called them cardinal numbers.

The number of integers (and of any infinite subset of that set), and even the number of rational numbers is cardinal – or countable infinities (obviously you can count whole numbers, right? any). The number of real numbers from 0 to 1 or the number of points on a line is “greater” (because they are uncountable and unenumerable). Surprisingly, a 3-dimensional (or N-dimensional) space has the same number of points as a line! The theory of infinities has many more mysteries and surprises for mathematicians centuries later.

Ultimately, what role does this theory play in John Green’s novel? The mathematician Vi Hart commented in her video, “Whether those different sorts of infinities apply to something like moments of time is unknown. What we do know is that if life has infinite moments, or infinite love, or infinite being, then a life twice as long still has exactly the same amount. Some infinities only look bigger than other infinities. And some infinities that seem very small are worth just as much as infinities ten times their size.” This means that a brief moment is as valuable as longer intervals. In other words, each moment – our “finite” time – when fully utilized will become much longer, even infinite in perception and memory.

*Inspiration for this article:

https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/the-fault-in-our-stars-faulty-math/

Explanations by Vi Hart:

The infinite hotel paradox and its variants, Ted-Ed: https://www.youtube.com/watch?v=Uj3_KqkI9Zo

Simplified proof of the inability to enumerate real numbers: http://mathonline.wikidot.com/the-set-of-real-numbers-is-uncountable

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s